加权投票制度中权力的度量

背景:某市共有\(100\)万人口,在行政上被划分为\(A,B,C,D,E\)五个区,各区人口分别为\(60,20,10,5,5\)万人。

由于该市高度民主,所有重大决策都希望采取全民公投的制度,但全市统一公投太麻烦,于是市长决定,各区自行组织区内的意见收集,最后由区长到自己这里来投票,并采取“赢者通吃”的策略,即区长只能投一票赞成或一票反对。

毕竟各区人口有差异,所以每位区长投的应该被赋予不同的权重,于是市长又决定,将\(A,B,C,D,E\)五位区长投的票分别乘上\(60,20,10,5,5\),最后采取简单多数原则来决定一个提案的通过与否。

问题:这样的投票制度是否合理?为什么?

原规则的不妥

上述规则显然是不合理的,\(A\)区区长是这个规则中绝对的独裁者,所有提案的通过与否完全取决于他投的票是赞成或反对。

这个乍一看十分有理有据的投票制度,其实暗藏着两个陷阱:首先,简单多数这个原则本身就有不合理之处,它的滥用会导致“多数人的暴政”。即使不考虑政治和心理上的因数,在这个问题中简单多数原则带来的“暴政”也被问题中两轮投票的制度给放大,使得多个投票者中出现了独裁者。

在现实生活中,为了消除减少这种“暴政”发生的可能,很多投票制度中改为采取比例多数原则,例如我国人大对于重大提案需要与会者\(\frac{2}{3}\)以上投赞成票才能通过,充分展现出其民主的一面。

另一方面,在“赢者通吃”的情况下,每位区长投票的权重正比于该区人口也是不合理的。为了定量研究这个问题,我们希望引入投票制度中“权力”的概念,表示每位代表投票对最终结果的影响力,并始终将所有人的权力之和归一化为\(1\)。

例如,在\(n\)个人参与的普通的一人一票制度投票中,每个人的权力当然都为\(\frac{1}{n}\),而在这个问题中,我们可以认为\(A\)区区长的权力为\(1\),其它区长的权力为\(0\),这就是问题的所在——按照我们制定规则的出发点,应该通过设计权重使得每个区的区长权力正比于该区人数才是最合理的。

为了计算在一般的权重分布下,各区区长具体的权力数值,我们接下来先给出加权投票制度的数学表示。

加权投票制度的数学表示

我们做定义如下:

投票人集合:\(N=\begin{Bmatrix}A,B,C,…\end{Bmatrix}\),且\(|N|=n\),其中第\(i\)个人在投票中的权重为\(w_i\),即他的票会被乘以\(w_i\)后计入总票数。

定额\(q\):当且仅当投赞成票的人权重之和不小于\(q\)时提案通过,合理的加权投票制度应该有\(\frac{w}{2}\leq q<w\),其中\(w=\sum_{i=1}^nw_i\)。

获胜联盟:投票人集合的子集,且获胜联盟内的人权重之和不小于\(q\)。

极小获胜联盟:任何一个真子集都不是获胜联盟的获胜联盟。

权力指标:一组整数\(\begin{Bmatrix}k_i\end{Bmatrix}_{i=1}^n\),其中\(k_i\)表示第\(i\)个人在此投票制度中的权力大小,权力指标的建模并不是唯一的,不同的建模方式下权力指标拥有不同的概率意义,但每种方式下权力指标都满足下列公理:

①若一个投票人不属于任意一个获胜联盟,则其权力为\(0\);

②若权重\(w_i>w_j\),则权力\(k_i\geq k_j\);

③若包含某两个人的获胜联盟集族之间存在自然的一一映射(通俗地说,这两个人是“对称”的),则他们的权力相等。

接下来我们用数学建模的方式给出两种不同的权力指标计算,再分析他们各自的概率意义,指的一提的是这两种权力指标都是可以在各自的意义下公理化的,但我们不讨论相关内容。

Shapley指标

考虑一个简化版问题:投票人集合\(N=\begin{Bmatrix}A,B,C\end{Bmatrix}\),三个人投票权重依次为\((2,1,1)\),定额\(q=3\)。

枚举投票人的全排列并从左向右检查每个排列:

\(ABC\):\(\begin{Bmatrix}A\end{Bmatrix}\)不是获胜联盟,\(\begin{Bmatrix}A,B\end{Bmatrix}\)是获胜联盟,故\(B\)是关键人物;

\(ACB\):\(\begin{Bmatrix}A\end{Bmatrix}\)不是获胜联盟,\(\begin{Bmatrix}A,C\end{Bmatrix}\)是获胜联盟,故\(C\)是关键人物;

\(BAC\):\(\begin{Bmatrix}B\end{Bmatrix}\)不是获胜联盟,\(\begin{Bmatrix}B,A\end{Bmatrix}\)是获胜联盟,故\(A\)是关键人物;

\(BCA\):\(\begin{Bmatrix}B,C\end{Bmatrix}\)不是获胜联盟,\(\begin{Bmatrix}B,C,A\end{Bmatrix}\)是获胜联盟,故\(A\)是关键人物;

\(CAB\):\(\begin{Bmatrix}C\end{Bmatrix}\)不是获胜联盟,\(\begin{Bmatrix}C,A\end{Bmatrix}\)是获胜联盟,故\(A\)是关键人物;

\(CBA\):\(\begin{Bmatrix}C,B\end{Bmatrix}\)不是获胜联盟,\(\begin{Bmatrix}C,B,A\end{Bmatrix}\)是获胜联盟,故\(A\)是关键人物。

三个投票人成为关键人物的次数为\((4,1,1)\),将其归一化就得到了该问题的Shapley权力指标\((\frac{2}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{6})\)。

我们再从概率论的角度来计算Shapley指标,设\(R_A,R_B,R_C\)为三个投票人成为关键人物的事件,\(p\)表示每位投票人独立投赞成票的概率,\(q\)表示每位投票人独立投反对票的概率(所以\(p+q=1\)),则\(P(R_A)=2pq+p^2=2p-p^2\),\(P(R_B)=P(R_C)=pq=p-p^2\)。

计算得\(\int_0^1P(R_A)dp=\frac{2}{3}\),\(\int_0^1P(R_B)dp=\int_0^1P(R_C)dp=\frac{1}{6}\),这就给出了Shapley指标的概率意义:一个投票人的权力等于在各投票人独立且\((0,1)\)均匀概率分布地投赞成票的条件下,他能够左右投票结果的概率。

Banzhaf指标

我们依然考虑上述简化版问题,并检查所有的获胜联盟:

\(\begin{Bmatrix}A,B\end{Bmatrix}\):去掉\(A\)和\(B\)都会变成非获胜联盟,故他们都是关键人物;

\(\begin{Bmatrix}A,C\end{Bmatrix}\):去掉\(A\)和\(C\)都会变成非获胜联盟,故他们都是关键人物;

\(\begin{Bmatrix}A,B,C\end{Bmatrix}\):去掉\(A\)会变成非获胜联盟,故只有\(A\)是关键人物。

三个投票人成为关键人物的次数为\((3,1,1)\),将其归一化就得到了该问题的Banzhaf权力指标\((\frac{3}{5},\frac{1}{5},\frac{1}{5})\)。

Banzhaf指标的概率意义比较简单:一个投票人的权力等于在各投票人独立以各\(\frac{1}{2}\)的概率投赞成或反对票时,他能够左右投票结果的概率。

新规则的制定

不管采取哪种指标进行计算,容易发现在原问题中投票制度的权力指标均为\((1,0,0,0,0)\),正如前面所说,这是很不合理的。同样从定量的角度来说,实际上投赞成票的区长所代表的区,赞成的人数并不是\(100\%\),在本问题中最极端的情况下,\(30\)万人的意愿就可以左右决策结果,所以我们并不应该给这位区长赋予代表\(60\)万人的权重。

但事实上,重新计算权重来使得权力之比接近人口之比并不是一个好策略,因为需要重新确定的数值太多,且在政策上也不容易给出一个分配权重的解释,更容易的方法是重新确定一个定额\(q\)值。

在原问题中,如果取\(q=15\),可得Banzhaf权力指标为\((\frac{11}{21},\frac{5}{21},\frac{1}{7},\frac{1}{21},\frac{1}{21})\),比较接近人口比\(12:4:2:1:1\),这在给定的背景下就是一个优秀的投票规则了。

我们的讨论就到此为止了,关于两种指标进一步的分析对比,可能需要具体问题具体分析,至于这个模型的进一步扩展,一门名为“计量政治学”的新兴学科正在悄然崛起XD

这篇文章的例子和模型主要来自于谢金星老师的《数学模型》一课,在这门课中我收获颇丰,非常推荐给清华的同学们~

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