巧妙利用导数解决一个“困难”的不等式

问题描述:\(\forall x>0,m\in\mathbb{R}\),试证:$$(e^x-m)^2+(2lnx-m)^2>4-2ln2$$\(\qquad\)这是某新生群上有人抛出来的一道题目,因为不等式左侧的形式很像距离公式,所以不少同学从这里下手,之后再利用很复杂的估值解决了此题。但实际上,只要巧妙地利用导数和极值点的关系,这道题就可以迎刃而解。

Solution

不妨先设\(x\)为参数,令\(f(m)=(e^x-m)^2+(2lnx-m)^2\)

对\(m\)求导得\(f'(m)=-2(e^x+2lnx-2m)\)

求二阶导得\(f”(m)=4>0\),故\(f'(m)=0\)时的\(m\)为极小值点,可以解得\(m=\frac{e^x}{2}+lnx\)

代入原不等式得\(2(\frac{e^x}{2}-lnx)^2>4-2ln2\),需证\(\frac{e^x}{2}-lnx>\sqrt{2-ln2}\)

令\(g(x)=\frac{e^x}{2}-lnx\),求导得\(g'(x)=\frac{e^x}{2}-\frac{1}{x}\)

求二阶导得\(g”(x)=\frac{e^x}{2}+\frac{1}{x^2}>0\),故\(g'(x)=0\)时的\(x\)为极小值点,可以得到\(xe^x=2\)

代入原不等式得\(\frac{e^x}{2}-lnx=\frac{\frac{2}{x}}{2}-ln\frac{2}{e^x}=\frac{1}{x}+x-ln2\),再利用均值不等式即可得\(\frac{1}{x}+x-ln2>2-ln2>\sqrt{2-ln2}\),原不等式得证

整个过程的计算量并不大,思路也很清晰,值得一提的是,这道题除了体现导数比起初等方法的优越性外,最后一步通过\(2-ln2\)巧妙搭桥我觉得十分有意思,所以特地在这里记录下此题与大家分享。

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