证明a,b,c的平方根是有理数

问题描述:已知\(a,b,c\in\mathbb{Q}\)为有理数,且\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\in\mathbb{Q}\)为有理数,试证明\(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}\in\mathbb{Q}\)。

这道题是在水群的时候看到的,其实整个证明过程并无太大趣味,只是觉得这个结果还是蛮有意思而且不那么显然的,所以想写在这里。

Solution

设\(s=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\),则\(s\in\mathbb{Q}\)

有\(\sqrt{a}=s-\sqrt{b}-\sqrt{c}\Rightarrow a=s^2+b+c+2\sqrt{bc}-2s(\sqrt{b}+\sqrt{c})\)

设\(t=\frac{1}{2}(a-s^2-b-c)\),则\(t\in\mathbb{Q}\)

有\(\sqrt{bc}-t=s(\sqrt{b}+\sqrt{c})\Rightarrow bc+t-2t\sqrt{bc}=s^2(b+c+2\sqrt{bc})\)

因为\(a,b,c,s,t\in\mathbb{Q}\),所以\(\sqrt{bc}\in\mathbb{Q}\)

回到等式\(a=s^2+b+c+2\sqrt{bc}-2s(\sqrt{b}+\sqrt{c})\),可得\(\sqrt{b}+\sqrt{c}\in\mathbb{Q}\)

由\(a,b,c\)的轮换对称性同理可得\(\sqrt{a}+\sqrt{b},\sqrt{a}+\sqrt{c}\in\mathbb{Q}\)

所以\(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}\in\mathbb{Q}\),证毕

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