12整除C(n,7)的概率是多少?

问题描述:任取一个正整数\(n\),求\(12\)能够整除\(C_n^7\)的概率是多少?

这是我室友在概率论书上看到的一个习题,我们先用计算机跑出了一个结果,最后我对这个结果给出了一个有意义的解释。这道题大概花了我两个多小时的时间,但我觉得我的解释还稍显复杂,而且我认为这个结论应该可以进一步推广到计算\(p\)能够整除\(C_n^q\)的概率,所以把这个问题发在这里,期待有人给出指导或有一天自己能够得到更好的结果QwQ

问题答案:\(\frac{91}{144}\)

Solution

这道题等价于计算\(\prod_{x=n-6}^nx\)是\(7!\times 12\)的倍数的概率,首先不难发现如果一个正整数\(n\)满足条件,那么\(n+7!\times 12\)也是满足条件的,所以不难用计算机去枚举\(1\)到\(7!\times 12\)然后得到答案。

由于\(7!\times 12=2^6\times 3^3\times 5\times 7\),我们考虑对\(\prod_{x=n-6}^nx\)也做质因数分解,而\(7\)个连续的正整数中一定存在\(5\)和\(7\)的倍数,所以我们重点考虑因子\(2\)和\(3\)的个数。换句话说,我们希望\(n,n-1,…,n-6\)中共有六个因子\(2\)和三个因子\(3\)。

考虑\(n,n-1,…,n-6\)除以\(8\)的余数,显然它们两两模\(8\)不同余,所以\(0\)到\(7\)中有且仅有一个余数没有出现过。

假如没有模\(8\)余\(0\)的数(这种情况出现的概率是\(\frac{1}{8}\)),则这\(7\)个数中恰有模\(8\)余\(2,4,6\)的数各一个。其中模\(8\)余\(4\)的数恰贡献两个因子\(2\)。另两个数各贡献一个因子\(2\),其它数都不是\(2\)的倍数,所以共只有四个因子\(2\),不满足条件。

假如没有模\(8\)余\(4\)的数(这种情况出现的概率也是\(\frac{1}{8}\)),则这\(7\)个数中恰有模\(8\)余\(0,2,6\)的数各一个。其中模\(8\)余\(0\)的数有\(\frac{1}{2}\)的概率不是\(16\)的倍数,仅贡献三个因子\(2\),否则都能贡献至少四个因子\(2\)。另两个数各贡献一个因子\(2\),其它数都不是\(2\)的倍数,所以这种情况有\(\frac{1}{2}\)的概率满足条件。

对于模\(8\)的其它情况,同理不难验证它们一定满足条件。

再考虑\(n,n-1,…,n-6\)除以\(9\)的余数,显然它们两两模\(9\)不同余,而这又是\(7\)个连续的正整数,所以\(0\)到\(8\)中有且仅有两个连续的余数没有出现过(\(8\)和\(0\)视作是连续的)。

假如没有模\(9\)余\(0\)的数(这种情况出现的概率是\(\frac{2}{9}\)),则这\(7\)个数中恰有模\(9\)余\(3,6\)的数各一个,它们都仅贡献一个因子\(3\),不满足条件。

对于模\(9\)的其它情况,同理不难验证它们一定满足条件。

由于因子\(2\)和因子\(3\)的个数限制可以独立考虑,且必须同时满足两个限制,故它们是充要条件,所以原问题的答案为:\((1-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\times\frac{1}{2})\times(1-\frac{2}{9})=\frac{91}{144}\)。

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