子空间的并能否是子空间

这是线性代数中基础但并不很平凡的一个问题:给定一个线性空间V,我们知道V的任意多个(无论有限还是无限)子空间的交仍然是V的子空间,但通常来说子空间的并不会是子空间,例如同时包含两个子空间U_1,U_2的最小子空间应该是它们的和U_1+U_2,作为集合其一般比U_1\cup U_2更大.

不过直接说“子空间的并不是子空间”实际并不严谨,下面我们来讨论子空间的并能否是子空间的一些相关条件,并从中看到为什么说这个问题不是那么平凡的.

互不包含的两个子空间的并不是子空间

U_1,U_2V的子空间且互不包含,则\exists u_1\in U_1\setminus U_2,u_2\in U_2\setminus U_1,假设U_1\cup U_2V的子空间,则根据封闭性有u_1+u_2\in U_1\cup U_2.

u_1+u_2\in U_1,结合u_1\in U_1u_2\in U_1,矛盾,同理若u_1+u_2\in U_2也会导出矛盾,所以u_1+u_2\not\in U_1\cup U_2,从而U_1\cup U_2不能是V的子空间,也即互不包含的两个子空间的并不能是子空间.

此结论是线性代数中的一个经典习题,如果读者在课堂上听过这个结论,或许会有一些比较“形象直观”的理解,比如将大空间想象成三维空间,两个子空间想象成两个不同的平面,它们的并显然不会是一个平面,看起来这给出了一个“几何”的证明.

可惜的是,下面的结论会否决这个单纯的想法.

两两互不包含的三个子空间的并可以是子空间

V=\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_2,这是域\mathbb{F}_2上的线性空间,设U_1,U_2,U_3是分别由V中的向量(0,1),(1,0),(1,1)生成的子空间,不难验证U_1,U_2,U_3两两互不包含,但它们的并U_1\cup U_2\cup U_3=V.

这里看起来变了个小魔术:我们突然把目光转到了有限域上的线性空间,实际上这恰恰是问题的关键所在,接下来我们会看到域的大小究竟是如何影响问题结论的.

无限域上两两互不包含的有限个子空间的并不是子空间

V是无限域\mathbb{K}上的线性空间,U_1,U_2,\cdots,U_nV的子空间,且\bigcup_{i=1}^nU_i也是V的子空间,我们来证明其中必有一个空间U_i包含其它所有的子空间.

不妨设\bigcup_{i=2}^nU_i\not\subseteq U_1(否则证明已经完成),若同时还有U_1\not\subseteq\bigcup_{i=2}^nU_i,则\exists u_1\in U_1\setminus\bigcup_{i=2}^nU_i,u_2\in\bigcup_{i=2}^nU_i\setminus U_1,因为\bigcup_{i=1}^nU_i是子空间,所以\forall k\in\mathbb{K},有u_1+ku_2\in\bigcup_{i=1}^nU_i,且u_1+ku_2\not\in U_1(k\neq 0),否则推出u_2\in U_1从而矛盾,只能是u_1+ku_2\in\bigcup_{i=2}^nU_i.

由于\mathbb{K}是无限域,所以形如u_1+ku_2的向量有无限个,根据鸽巢原理必然存在一个U_i(2\leq i\leq n),使得U_i包含两个不同的这样的向量,但这会给出u_1\in U_i,矛盾,只能是U_1\subseteq\bigcup_{i=2}^nU_i,对\bigcup_{i=2}^nU_i归纳重复上述过程即可证明前述断言.

从这个证明过程中也可以看到,u_1+ku_2这样的向量有多少个会影响我们的结论,之前有限域的例子里我们只能找到两个这样的向量,它们恰好可以分布在另两个子空间里,这就导致了三个子空间的并仍然是子空间的情况出现.

现在我们已经充分讨论了有限个子空间取并的情况,接下来我们琢磨琢磨无限个子空间的并,下面给出一个我很喜欢的命题及其证明.

\mathbb{R}上两两互不包含的可数个子空间的并不是子空间

不失一般性,我们设V\mathbb{R}上的n(n\geq 2)维线性空间,U_i(i\in I)V的一族子空间且\dim U_i=n-1,这样我们只需证明若\bigcup_{i\in I}U_i=V,则I一定是不可数集即可.

考虑点集:

    \[S=\{(1,x,x^2,\cdots,x^{n-1})\in V\mid a\in\mathbb{R}\}\]

显然S\subseteq V=\bigcup_{i\in I}U_i,而若(1,x,x^2,\cdots,x^{n-1})\in U_i,则有:

    \[a_{i,0}+a_{i,1}x+\cdots+a_{i,n-1}x^{n-1}=0\]

其中(a_{i,0},a_{i,1},\cdots,a_{i,n-1})U_i的正交补空间的基.

但是方程f(x)=a_{i,0}+a_{i,1}x+\cdots+a_{i,n-1}x^{n-1}=0\mathbb{R}中至多只有n-1个解,所以每个U_i只能包含S中的有限个点,而|S|=|\mathbb{R}|,所以I只能是不可数集.

至此,我们对“子空间的并能否是子空间”在线性代数的范围了给出了充分讨论,并从中看到数域的大小究竟是如何影响相关结论的,这也是很多同学在初学线性代数时容易忽略的一点:大家太喜欢或是习惯在\mathbb{R}上思考和讨论问题了(即便很多线性代数课程也只用到\mathbb{R}\mathbb{C},但对它俩区别对待也是应该且重要的).

当然这个问题还可以继续在无限维线性空间上做进一步的讨论,但这篇文章不再深入,希望本文成为一个很棒的线性代数小练习:)

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